CÁCH VẼ NGÔI SAO NĂM CÁNH CHUẨN BẰNG THƯỚC VÀ COMPA

“Một ngôi sao năm cánh chuẩn là một ngôi sao mà năm đỉnh của năm cánh ngôi sao đó tạo thành một ngũ giác đều”. Như vậy, để vẽ một ngôi sao năm cánh chuẩn thì ta chỉ cần vẽ một ngũ giác đều là được.

Như chúng ta biết: Một ngũ giác đều là một đa giác có 5 cạnh và 5 góc trong bằng nhau.

Nếu ABCDE là một ngũ giác đều thì ta có 5 đỉnh A, B, C, D, E Nằm trên một đường tròn.

Chỉ bằng thước kẻ và Compa, ta sẽ dựng được một ngũ giác đều theo các bước sau đây.

1. Dựng đường tròn tâm O bán kính r (màu đen)

2. Dựng 2 đường thẳng d và t vuông góc với nhau tại O.

(Dựng 2 đường thẳng vuông góc là bài toán cơ bản nên dễ dàng dựng được)

-       Đường thẳng d cắt (O) tại A và B

-       Đường thẳng t cắt (O) tại C và D

3. Dựng trung điểm I của đoạn OA

(đây cũng là bài toán cơ bản nên dễ dàng dựng được)

4. Dựng đường tròn tâm I bán kính IC (màu xanh).

-       Đường tròn (I) cắt OB tại E

5. Dựng đường tròn tâm C bán kính CE (màu tím).

-       Đường tròn (C) cắt (O) tại M và N

6. Dựng đường tròn tâm M bán kính MC và đường tròn tâm N bán kính NC

-       Các đường tròn (M) cắt (O) tại C và L, (N) cắt (O) tại C và K (màu cam).

7. Nối các đoạn CM; ML; LK; KN và NC ta được một ngũ giác đều (màu đỏ).

Ta phải chứng minh ngũ giác CMLKN được dựng theo cách như trên là một ngũ giác đều.

Thật vậy: Nếu ngũ giác CMLKN là đều ngũ giác đều thì nó nội tiếp đường tròn O và các góc $\widehat{COM}= \widehat{MOL}= \widehat{LOK}= \widehat{KON}= \widehat{NOC}= 72^{o}$ và ngược lại.
Như cách dựng trên thì ta đã có các điểm C, M, L, K, N nằm trên đường tròn O và các cạnh MC = ML = NC = NK nên các góc $\widehat{COM}= \widehat{MOL}= \widehat{KON}= \widehat{NOC}$
Ta chỉ cần chứng minh góc $\widehat{COM}= 72^{o}$ là được.
Kẻ OH vuông góc với CM ta có HM = HC và $\widehat{COH}= \widehat{MOH}$
Theo hệ thức lượng giác trong tam giác vuông ta có: $sin\widehat{COH}=\frac{CH}{CO}$ (*)
Ta sẽ tính CH theo r (chú ý CO = r).
Theo bước dựng thứ 3 ta có OI = $\large \frac{1}{2}$r
Áp dụng định lý pitago cho tam giác OIC ta có:
$IC^{2}=OI^{2}+OC^{2} = (\frac{1}{2}r)^{2}+r^{2}=\frac{5}{4}r^{2}$
$\Rightarrow IC=\frac{\sqrt{5}}{2}r=IE$
$\Rightarrow OE=IE=OI=\frac{\sqrt{5}}{2}r-\frac{1}{2}r=\frac{\sqrt{5}-1}{2}r$
Tiếp tục áp dụng định lý pitago cho ta giác OEC ta được 
$CE=\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}r=CM$
$\Rightarrow CH=\frac{1}{2}.\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}r$
Thay vào (*) ta được: $sin\widehat{COH}=\frac{1}{2}.\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}$ (**)
Ta sẽ chứng minh góc $\widehat{COH}=36^{o}$
Thật vậy ta có:   
      sin36^o = sin2.18^o = 2.sin18^o.cos18^o  (***)
Đặt a = 18^o ta có: 
      36^o = 90^o – 54^o ⟺ 2.18^o = 90^o – 3.18^o
                                   ⟺ 2.a = 90^o – 3.a
Suy ra:   sin2.a = sin(90^o – 3a) = cos3a = 4.cos³a – 3.cosa
       ⟺  2.sina.cosa = 4.cos³a – 3.cosa
       ⟺  2.sina = 4.cos²a – 3  ( do cosa $\large \neq$ 0)
       ⟺  2.sina = 4.(1 - sin²a) – 3 
       ⟺  4.sin²a + 2sina -1 = 0  ($\triangle '$ = 5)      
       ⟹   sina = $\large \frac{-1+\sqrt{5}}{4}$ hoạc sina = $\large \frac{-1-\sqrt{5}}{4}$ (trường hợp này loại vì sina > 0)             
Lại có: $cosa=\sqrt{1-sin^{2}a}=\sqrt{1-(\frac{-1+\sqrt{5}}{4})^{2}}=\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}}$
Thay sina và cosa vào (***) ta được:
$sin36^{o}=2.\frac{-1+\sqrt{5}}{4}.\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}}$
            $\large =\sqrt{\frac{(\sqrt{5}-1).(5+\sqrt{5})}{16}}$
            $\large =\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}}$
            $\large =\frac{1}{2}.\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}$
Đối chiếu với (**) ta suy ra góc $ \widehat{COH}=36^{o}$ ( đpcm).
Sau cùng, để có ngôi sao 5 cánh ta chỉ việc nối các đỉnh: CL; LN; NM: MK và KC của hình ngũ giác là song.

Khương Hậu

-----------------------------------------------------

BÀI VIẾT CÙNG CHUYÊN MỤC

Graph Toán học và trò chơi vẽ hình một nét

Câu đố vui "Cân bi"

Định lý Thales và ứng dụng đo đạc

Cách vẽ ngôi sao năm cánh chuẩn bằng thước và compa

------------------------------------------------------

SHOP HIỀN HẬU