HienHau: TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN SỐ

Các em thân mến!

Ở bài học trước chúng ta đã biết “phân số là một phép chia của tử số cho mẫu số”.

Nghĩa là: $\large \frac{a}{b}$ = a : b (với b khác 0)

Trong phép toán với các số tự nhiên ta cũng biết.

a : 1 = a với mọi số tự nhiên a

và 0 : a = 0 với mọi số tự nhiên a khác 0.

Điều này có nghĩa là: a = $\large \frac{a}{1}$ với mọi số tự nhiên a

và 0 = $\large \frac{0}{a}$ với mọi số tự nhiên a khác 0.

Ta có kết luận sau đây:

Mọi số tự nhiên đều là một phân số với mẫu số bằng 1 và tử số là chính nó.

Số 0 là phân số có tử số bằng 0 và mẫu số là một số bất kỳ khác 0.

Ví dụ: 3 = $\large \frac{3}{1}$ ; 5 = $\large \frac{5}{1}$ ; 19 = $\large \frac{19}{1}$ ; …

0 = $\large \frac{0}{1}$ = $\large \frac{0}{2}$ = $\large \frac{0}{3}$ = …

Quay lại ví dụ 1 trong bài học trước, ở câu b) giả sử ta nhân 2 lần số quả táo và nhân 2 lần số người, tức là ta có 20 quả táo chia cho 6 người thì mỗi người vẫn nhận được một số táo như ban đầu (3quả + $\large \frac{1}{3}$ quả).

Như vậy: $\large \frac{10}{3}$ = $\large \frac{10\times 2}{3\times 2}$ = $\large \frac{20}{6}$

Tương tự như vậy, nếu ta cùng nhân 3, nhân 4, nhân 5, ... số táo và số người thì kết quả vẫn không thay đổi.

Ta có: $\large \frac{10}{3}$ = $\large \frac{20}{6}$ = $\large \frac{30}{9}$ = $\large \frac{40}{12}$ = …

Ngược lại: $\large \frac{40:4}{12:4}$ = $\large \frac{30:3}{9:3}$ = $\large \frac{20:2}{6:2}$ = $\large \frac{10}{3}$

Vấn đề trên là đúng với mọi phép chia khác nhau.

Kết luận:

Nếu nhân (hoặc chia) cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số (khác 0) thì giá trị của phân số đó không thay đổi.

Áp dụng các tính chất cơ bản của phân số chúng ta sẽ giải quyết được các vấn đề sau đây.

Rút gọn phân số:

“Theo tính chất ở trên ta thấy, một phân số có thể được biểu diễn bởi nhiều biểu thức khác nhau mà giá trị thì cũng chỉ là một. Có nhiều phân số mà cả tử số và mẫu số đều có thể chia hết cho cùng một số. Rút gọn phân số là việc mà ta sẽ chia cả tử số và mẫu số cho cùng một số nhằm mục đích làm giảm giá trị của tử số và mẫu số về các số có giá trị nhỏ hơn”.

Ví dụ: $\large \frac{36}{42}$ = $\large \frac{36:2}{42:2}$ = $\large \frac{18}{21}$ = $\large \frac{18:3}{21:3}$ = $\large \frac{6}{7}$

Theo ví dụ trên ta thấy, một phân số có thể được rút gọn một phần hoặc rút gọn hoàn toàn.

Một phân số chưa được rút gọn hoàn toàn là cả tử số và mẫu số vẫn còn có thể chia hết cho một số khác 1.

Một phân số được rút gọn hoàn toàn là khi cả tử số và mẫu số không còn chia được cho số nào khác ngoài 1.

Nếu phân số được rút gọn hoàn toàn thì ta gọi là phân số tối giản.

Các bước để rút gọn một phân số:

Để rút gọn một phân số ta làm theo các bước sau.

Bước 1: Xác định 1 số (khác số 1) mà cả tử số và mẫu số đều chia hết.

Bước 2: Chia cả tử số và mẫu số của phân số cần rút gọn cho số vừa tìm được, ta được 1 phân số mới.

Để rút gọn hoàn toàn một phân số ta lặp lại bước 1 và 2 với phân số mới cho đến khi nào phân số thu được là phân số tối giản.

Ví dụ: Hãy rút gọn hoàn toàn các phân số sau:

$\large \frac{12}{24}$ ; $\large \frac{21}{14}$ ; $\large \frac{125}{245}$ ; $\large \frac{1212}{2424}$ ; $\large \frac{111111}{243243}$

Bài làm:

Ta có:

$\large \frac{12}{24}$ = $\large \frac{12:2}{24:2}$ = $\large \frac{6}{12}$ = $\large \frac{3}{6}$ = $\large \frac{3:3}{6:3}$ = $\large \frac{1}{2}$

Hoặc đơn giản hơn ta làm như sau

$\large \frac{12}{24}$ = $\large \frac{12:12}{24:12}$ = $\large \frac{1}{2}$

Như vậy, việc khéo léo lựa chọn một số mà cả tử số và mẫu số đều chia hết sẽ cho ta các bước giải quyết bài toán một cách đơn giản hơn.

Làm tương tự với các bài còn lại, ta có:

$\large \frac{21}{14}$ = $\large \frac{21:7}{14:7}$ = $\large \frac{3}{2}$

$\large \frac{125}{245}$ = $\large \frac{125:5}{245:5}$ = $\large \frac{25}{49}$

$\large \frac{1212}{2424}$ = $\large \frac{1212:101}{2424:101}$ = $\large \frac{12}{24}$ = $\large \frac{12:12}{24:12}$ = $\large \frac{1}{2}$

$\large \frac{111111}{243243}$ = $\large \frac{111111:1001}{243243:1001}$ = $\large \frac{111}{243}$ = $\large \frac{111:3}{243:3}$ = $\large \frac{37}{81}$

Chú ý: $\large \overline{abababab}=\overline{ab}\times 1010101$

$\large \overline{abcabcabc}=\overline{abc}\times 1001001$

v.v..

Quy đồng hai phân số:

“Khi giải các bài toán, có nhiều trường hợp ta cần tìm các phân số có mẫu số (hoặc tử số) có giá trị bằng nhau. Quy đồng phân số là việc mà ta sẽ đưa các phân số đã cho về các phân số mới có mẫu số (hoặc tử số) bằng nhau mà không làm thay đổi giá trị của chúng”.

Chúng ta có một số các khái niệm mới sau đây:

Bội số chung (BSC), bội số chung nhỏ nhất (BSCNN)

Cho 2 số tự nhiên a và b khác 0.

Số M khác 0 được gọi là BSC của a và b nếu M đồng thời chia hết cho cả a và b.

Ví dụ: 5 và 7 có BSC là: 35; 70; 105; ….

6 và 8 có BSC là: 24; 48; 72; ….

Số nhỏ nhất trong tất cả các BSC của a và b được gọi là BSCNN của a và b

Ví dụ: 5 và 7 có BSCNN là: 35

6 và 8 có BSCNN là: 24

Ước chung (ƯC) và ước chung lớn nhất (ƯCLN):

Cho 2 số tự nhiên a và b khác 0.

Ta gọi số m là ƯC của a và b nếu a và b đồng thời chia hết cho m.

Ví dụ: 15 và 30 có các ƯC là: 1; 3; 5; 15.

69 và 72 có các ƯC là: 1; 3

Số lớn nhất trong tất cả các ƯC của a và b được gọi là ƯCLN của a và b

Ví dụ: 15 và 30 có các ƯCLN là: 15

69 và 72 có các ƯCLN là: 3

Áp dụng các khái niệm mới ở trên ta có thể quy đồng mẫu số (hoặc tử số) của hai phân số bằng 2 cách sau đây.

Cách 1: (Quy đồng phân số dựa trên BSCNN)

Ví dụ: Quy đồng mẫu số cho 2 phân số $\large \frac{21}{5}$ và $\large \frac{7}{9}$

Ta có, BSC của 5 và 9 là: 45; 90; 135; …

Chọn một số trong các BSC đó làm mẫu số chung cho 2 phân số $\large \frac{21}{5}$ và $\large \frac{7}{9}$, ví dụ ta chọn số 45 (45 được gọi là mẫu số chung nhỏ nhất).

Vì 45 : 5 = 9 nên ta biến đổi $\large \frac{21}{5}$ = $\large \frac{21\times 9}{5\times 9}$ = $\large \frac{189}{45}$

Vì 45 : 9 = 5 nên ta biến đổi $\large \frac{7}{9}$ = $\large \frac{7\times 5}{9\times 5}$ = $\large \frac{35}{45}$

Như vậy, 2 phân số $\large \frac{21}{5}$ và $\large \frac{7}{9}$ được quy đổi thành 2 phân số mới là $\large \frac{189}{5}$ và $\large \frac{35}{45}$ có cùng mẫu số là 45.

Trong ví dụ trên, nếu yêu cầu của bài toán là quy đồng tử số thì ta cũng làm tương tự như với mẫu số.

Ta có: BSC của 21 và 7 là: 21; 42; 63; …

Chọn tử số chung là 21, ta có:

$\large \frac{7}{9}$ = $\large \frac{7\times 3}{9\times 3}$ = $\large \frac{21}{27}$ (phân số $\large \frac{21}{5}$ giữ nguyên)

Hai phân số $\large \frac{21}{5}$ và $\large \frac{7}{9}$ được quy đổi thành 2 phân số mới là $\large \frac{21}{5}$ và $\large \frac{21}{27}$ có cùng tử số là 21.

Các bước để quy đồng phân số theo BCNN.

Bước 1: Tìm mẫu số chung (tử số chung) nhỏ nhất.

Bước 2: Chia mẫu số chung (tử số chung) nhỏ nhất cho mẫu số (tử số) của phân số thứ 1 ta được số a1. Chia mẫu số chung (tử số chung) nhỏ nhất cho mẫu số (tử số) của phân số thứ 2 ta được số a2.

Bước 3. Nhân cả tử số và mẫu số của phân số thứ 1 với a1 và phân số thứ 2 với a2. Ta được các phân số mới có cùng mẫu số (tử số)

Cách 2: (Quy đồng phân số dựa trên ƯCLN)

Giả sử 2 số a và b có ƯCLN là m, ta có tính chất sau:

(a $\large \times $ b) : m = (a : m) $\large \times $ b = a $\large \times $ (b : m)

Áp dụng tính chất này ta có thể quy đồng các phân số:

Ví dụ: Quy đồng mẫu số của 2 phân số: $\large \frac{19}{36}$ và $\large \frac{11}{54}$

Ta có: Ước chung lớn nhất của 36 và 54 là 18.

Vì 54 : 18 = 3 nên ta biến đổi $\large \frac{19}{36}$ = $\large \frac{19\times 3}{36\times 3}$ = $\large \frac{57}{108}$

Vì 36 : 18 = 2 nên ta biến đổi $\large \frac{11}{54}$ = $\large \frac{11\times 2}{54\times 2}$ = $\large \frac{22}{108}$

Như vậy, 2 phân số $\large \frac{19}{36}$ và $\large \frac{11}{54}$

đã được quy đổi về 2 phân số mới là $\large \frac{57}{108}$ và $\large \frac{22}{108}$ có cùng mẫu số.

Các bước quy đồng phân số theo ƯCLN

Bước 1: Tìm ước chung lớn nhất của mẫu số (tử số) các phân số đã cho.

Bước 2: Chia mẫu số (tử số) của phân số thứ 1 cho ước chung lớn nhất vừa tìm được ta được số n1. Chia mẫu số (tử số) của phân số thứ 2 cho ước chung lớn nhất vừa tìm được ta được số n2.

Bước 3: Nhân cả tử và mẫu của phân số thứ 1 với n2, nhân cả tử và mẫu số của phân số thứ 2 với n1 ta được các phân số mới có cùng mẫu số (tử số).

Như vậy, tuỳ theo từng bài toán cụ thể mà ta sẽ lựa chọn phương án nào phù hợp nhất để giải quyết bài toán.

Quy đồng nhiều phân số.

Để quy đồng mẫu số (tử số) của nhiều phân số ta cũng làm theo các bước như cách 1. Đó là, tìm mẫu số chung nhỏ nhất (tử số chung nhỏ nhất), chia mẫu số chung nhỏ nhất (tử số chung nhỏ nhất) cho mẫu số (tử số) của các phân số đã cho rồi nhân cả tử và mẫu của các phân số đã cho với các số tìm được.

Ví dụ: Quy đồng mẫu số của các phân số:

$\large \frac{2}{3}$ ; $\large \frac{4}{5}$ và $\large \frac{7}{10}$

Bài làm:

Ta có, mẫu số chung nhỏ nhất của 3; 5 và 10 là 30 (30 là số nhỏ nhất đồng thời chia hết cho 3 ; 5 và 10)

Vì 30 : 3 = 10 nên ta biến đổi $\large \frac{2}{3}$ = $\large \frac{2\times 10}{3\times 10}$ = $\large \frac{20}{30}$

Vì 30 : 5 = 6 nên ta biến đổi $\large \frac{4}{5}$ = $\large \frac{4\times 6}{5\times 6}$ = $\large \frac{24}{30}$

Vì 30 : 10 = 3 nên ta biến đổi $\large \frac{7}{10}$ = $\large \frac{7\times 3}{10\times 3}$ = $\large \frac{21}{30}$

Trên đây là các tính chất cơ bản của phân số và ứng dụng của nó. Các em thân mến! rút gọn phân số và quy đồng phân số là những kiến thức rất quan trọng cho việc học toán cả bây giờ và sau này. Để học tốt môn toán, các em hãy chú ý làm thật nhiều các bài tập dạng này. Chúc các em học tốt!

Khương Hậu

Download bài giảng: Tại đây

Download bài tập: Tại đây

-----------------------------------------------------

BÀI VIẾT CÙNG CHUYÊN MỤC

Khái niệm về phân số

Tính chất cơ bản của phân số

So sánh hai phân số (cơ bản)

So sánh hai phân số (nâng cao)

Các phép toán với phân số (cơ bản)

Hỗn số

Phân số thập phân